دنباله فیبوناچی و عدد طلایی چیست ؟
دنباله فیبوناچی و عدد طلایی چیست ؟
نام واقعی وی لئوناردو پیزانو بگولو بود، و در سالهای مابین 1170 و 1250 در ایتالیا زندگی می کرده است. فیبوناچی” لقب وی بود، به معنی “پسر بوناچی”.
علاوه بر معروف شدن برای دنباله فیبوناچی، او برای گسترش اعداد هندی – عربی (مانند اعداد الان ما 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ) در اروپا به جای اعداد رومی ( … I, II, III, IV, V) کمک کرد. این اتفاق اروپایی ها و آمریکایی ها را از شر بسیاری از مشکلات نجات داد! باید از لئوناردو متشکر باشند.
روز فیبوناچی
روز فیبوناچی برابر 23 نوامبر (2 آذر) است.
هنرمندان قدیمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به یك صحنه ، مجسمه یا بنا مدتها از تركیب تناسب طلایی استفاده كردهاند . تركیب مزبور یك تناسب ریاضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در طبیعت ، مثلا در صدفهای دریایی و الگوی دانههای گل آفتابگردان و یا ساختار هندسی بازوهای میلهای كهكشانهای مارپیچی موجود در كیهان یافت میشود . امروزه سرنخهایی از این نسبت طلایی در نانو ذرات ( شاخه نانو تكنولوژی ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان این تناسب بخوبی قابل شناسایی است . به هر حال به كار بردن این نسبت در طراحیهای دستی و رشتههای هنری كار راحتی نمیباشد ، برای اینكه هرگز نمیتوان به مركز دوران مارپیچ رسید و این نقطه ، مركزی نامعلوم و غیر قابل دسترس است و تا بینهایت ادامه مییابد . به علت سهولت در ترسیمها و كارهای عملی ، نسبت 1.6/1 در نظر گرفته میشود .
در ریاضیات، سری فیبوناچی به دنبالهای از اعداد گفته میشود که غیر از دو عدد اول، اعداد بعدی از جمعِ دو عددِ قبلیِ خود بهدست میآید. اولین اعداد این سری عبارتاند از:
۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱
این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی، ریاضیدان ایتالیاییِ قرن سیزدهم میلادی، نامگذاری شدهاست.
در واقع فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقهمند شد. او میخواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد.
او برای حل این مسئله به یك سری از اعداد یا بهتر است بگوییم به یك دنباله رسید كه عبارت بود از ... ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 كه در این دنباله هر عددی ( به غیر از صفر و یك اول ) حاصل جمع دو عدد قبلی خودش میباشد ، به طور مثال 3+5=8 یا 1+2=3 و .....
علت بر اینكه در پایان ماه اول ، جفت اول به بلوغ میرسد و در پایان ماه دوم بعد از سپری كردن یك ماه بارداری ، یك جفت خرگوش متولد میشود كه جمعا دو جفت خرگوش خواهیم داشت ، در پایان ماه سوم جفت اول یك جفت دیگر به دنیا میآورد ولی جفت دوم به پایان دوران بلوغ خود میرسد كه در كل سه جفت خواهیم داشت در پایان ماه چهارم جفت اول و جفت دوم وضع حمل میكنند و تبدیل به چهار جفت میشوند و جفت سوم به بلوغ میرسد و در كل پنج جفت خواهیم داشت و الی آخر كه در پایان ماه دوازدهم تعداد 233 جفت خرگوش خواهیم داشت .
همانطور كه میدانیم عدد 233 توالی دوازدهم سری یا دنباله فیبوناچی است یعنی همان تعداد خرگوشها در پایان ماه دوازدهم .
سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزیك و علوم طبیعی ، كاربردهای بسیار دیگری دارد ، ارتباط زیبای فاصلههای خوش صدا در موسیقی ، چگونگی تولد یك كهكشان و ... كه در مطالب آینده راجع به آنها بحث خواهیم كرد .
این الگو را می توان در گلبرگها یا دانههای بسیاری از گیاهان مثلاً آناناس ، گل داوودی ، گل كلم ، میوههای كاج و ... مشاهده كرد .
خود انسان از ناف به نسبت فی تقسیم میشود . این نسبت نقش پیچیدهای در پدیدههایی مانند ساختار كریستالها ، سالهای نوری فاصله بین سیارات و پریودهای چرخش ضریب شكست نور در شیشه ، تركیبهای موسیقی ، ساختار سیارهها و حیوانات بازی میكند . علم ثابت كرده است كه این نسبت به راستی نسبت پایه و مبنای خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد فی را یك نسبت الهی میدانستهاند .
از زمانی كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلایی كردند ، نشان داده شد كه مخاطبان شیفتگی و شیدایی بیشتری نسبت به كارهای آنها از خود نشان دادند . مستطیلهای طلایی ، مانند نسبت طلایی فوقالعاده ارزشمند هستند . در بین مثالهای بیشمار از وجود این نسبت و یكی از برجستهترین آنها مارپیچ های DNA است . این دو مارپیچ فاصله دقیقی را با هم براساس نسبت طلایی حفظ میكنند و دور یكدیگر میتابند .
در حالی كه نسبت طلایی و مستطیل طلایی جلوههای زیبایی را از طبیعت و ساختههای دست انسان به نمایش میگذارد ، جلوه دیگری از این شكوه وجود دارد كه زیباییهای تحرك را به نمایش میگذارد. یكی از بزرگترین نمادهایی كه میتواند رشد و حركات كاینات را نشان دهد ، اسپیرال طلایی است. دیوید برگامینی در كتاب ریاضیاتش خاطرنشان میكند كه منحنی ستارههای دنبالهدار از خورشید كاملا شبیه به اسپیرال لگاریتمی است . عنكبوت شبكه تارهای خود را به صورت اسپیرال لگاریتمی میبافد . رشد باكتریها دقیقاً براساس رشد منحنی اسپیرال است . هنگامی كه سنگهای آسمانی با سطح زمین برخورد میكنند ، مسیری مانند اسپیرال لگاریتمی را طی می كنند . عدد فی Φ عددی مربوط به خلقت پروردگار یكتا است .
اسبهای آبی ، صدف حلزونها ، صدف نرمتنان ، موجهای اقیانوسها ، سرخسها ، شاخهای جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگهای گل آفتابگردان و چیدمان گل مروارید ، همه به صورت اسپیرال لگاریتمی است .
نسبت دو عضو متوالی دنباله:
اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر میبینیم:
۱۰----۹----۸----۷----۶----۵----۴----۳----۲----۱----شماره جمله
۵۵----۳۴----۲۱----۱۳----۸----۵----۳----۲----۱----۱----مقدار جمله
نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱
نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵
نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷
به نظر میرسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک میشود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ میرسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان میدهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل میکند.
هنگامیکه مربع های با پهناهایی برابر اعداد دنباله تشکیل می دهیم، یک مارپیچ مرتبی بدست می آید:
مشاهده می کنید که چگونه مربع ها نزدیک هم قرار گرفته اند؟
برای مثال 5 و 8، 13 را و 8 و 13، 21 را تشکیل می دهد و …
و سورپرایز اینجاست. هرچه اعضای دنباله فیبوناچی بزرگتر می شوند، نسبت هر عدد به عدد قبلی خود رفته رفته به عدد طلایی “φ” نزدیک می شود که حدودا برابر …1.618034 است.
در واقع، هرچه جفت اعداد فیبوناچی بزرگتر باشند، نسبت آنها تقریب عدد طلایی را دقیق تر می کند.
منبع:
از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد